По этому номеру вас будет разыскивать ФСБ или Полиция, если вы вдруг неосторожно задените чувства верующих или разместите в Интернете фривольную картинку с голым ребеночком, например, амурчика с луком, стрелой и крантиком.
Но вообще-то этот ваш IP номер обычно не ваш, а принадлежит провайдеру, который присваивает его клиентам по своему усмотрению. Когда вы разрываете соединение (например, выключаете роутер), то при новом соединении обычно присваивается и новый IP. Иногда так приходится делать, если ваш IP чем-то не нравится сайту-адресату. Яндекс порой ругается на некоторые IP, подозревая их в распространения спама или в использовании робота для запросов.
Можно попытаться скрыть от адресата свой IP. Для этой цели служат прокси-сервера, некоторые из которых бесплатные. Браузер Opera в режиме Турбо может подменить IP. Но, если очень нужно, то умелые люди все равно Вас вычислят.